حل {l}{cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$cx+y=69$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$cx=-y+69$$

قسمة طرفي المعادلة على c.

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

اضرب \frac{1}{c} في -y+69.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{69-y}{c} في المعادلة الأخرى، 2x+y=87.

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

اضرب 2 في \frac{69-y}{c}.

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

اجمع -\frac{2y}{c} مع y.

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

اطرح \frac{138}{c} من طرفي المعادلة.

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

قسمة طرفي المعادلة على \frac{-2+c}{c}.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} في x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

اضرب -\frac{1}{c} في \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}.

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

اجمع \frac{69}{c} مع -\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)}.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

اطرح 2x+y=87 من cx+y=69 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$cx-2x+y-y=69-87$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$cx-2x=69-87$$

اجمع cx مع -2x.

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

اجمع 69 مع -87.

$$\left(c-2\right)x=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على c-2.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{18}{c-2} في 2x+y=87. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

اضرب 2 في -\frac{18}{c-2}.

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

أضف \frac{36}{c-2} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$