حل {l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$12bx-15y=-4$$

أضف 15y إلى طرفي المعادلة.

$$12bx=15y-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 12b.

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

اضرب \frac{1}{12b} في 15y-4.

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-4+15y}{12b} في المعادلة الأخرى، 16x+10y=7.

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

اضرب 16 في \frac{-4+15y}{12b}.

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

اجمع \frac{20y}{b} مع 10y.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

أضف \frac{16}{3b} إلى طرفي المعادلة.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

قسمة طرفي المعادلة على \frac{20}{b}+10.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} في x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

اضرب \frac{5}{4b} في \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

اجمع -\frac{1}{3b} مع \frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

لجعل 12bx و16x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 16 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 12b.

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

تبسيط.

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

اطرح 192bx+120by=84b من 192bx-240y=-64 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

اجمع 192bx مع -192bx. حذف الحدين 192bx و-192bx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

اجمع -240y مع -120by.

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

اجمع -64 مع -84b.

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

قسمة طرفي المعادلة على -240-120b.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} في 16x+10y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

اضرب 10 في \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

اطرح \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)} من طرفي المعادلة.

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$