حل {l}{ax+by=c}{a^2x+b^2y=c}

$$\left. \begin{array} { l } { a x + b y = c } \\ { a ^ { 2 } x + b ^ { 2 } y = c } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$ax+by=c$$

اطرح by من طرفي المعادلة.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

قسمة طرفي المعادلة على a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

اضرب \frac{1}{a} في -by+c.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-by+c}{a} في المعادلة الأخرى، a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

اضرب a^{2} في \frac{-by+c}{a}.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

اجمع -bay مع b^{2}y.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

اطرح ca من طرفي المعادلة.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

قسمة طرفي المعادلة على b\left(b-a\right).

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)} في x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

اضرب -\frac{b}{a} في \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

اجمع \frac{c}{a} مع -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(b-a\right)a}.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

لجعل ax وa^{2}x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في a^{2} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في a.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

تبسيط.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

اطرح a^{3}x+ab^{2}y=ac من a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

اجمع a^{3}x مع -a^{3}x. حذف الحدين a^{3}x و-a^{3}x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

اجمع a^{2}by مع -ab^{2}y.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

اجمع a^{2}c مع -ac.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

قسمة طرفي المعادلة على ab\left(a-b\right).

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} في a^{2}x+b^{2}y=c. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

اضرب b^{2} في \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

اطرح \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} من طرفي المعادلة.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

قسمة طرفي المعادلة على a^{2}.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

حل مسائل x، y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 1\text{ and }b\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$ax+by=c$$

اطرح by من طرفي المعادلة.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

قسمة طرفي المعادلة على a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

اضرب \frac{1}{a} في -by+c.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-by+c}{a} في المعادلة الأخرى، a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

اضرب a^{2} في \frac{-by+c}{a}.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

اجمع -bay مع b^{2}y.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

اطرح ca من طرفي المعادلة.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

قسمة طرفي المعادلة على b\left(-a+b\right).

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)} في x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

اضرب -\frac{b}{a} في \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)}.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

اجمع \frac{c}{a} مع -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(-a+b\right)a}.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

لجعل ax وa^{2}x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في a^{2} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في a.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

تبسيط.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

اطرح a^{3}x+ab^{2}y=ac من a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

اجمع a^{3}x مع -a^{3}x. حذف الحدين a^{3}x و-a^{3}x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

اجمع a^{2}by مع -ab^{2}y.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

اجمع a^{2}c مع -ac.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

قسمة طرفي المعادلة على ab\left(a-b\right).

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} في a^{2}x+b^{2}y=c. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

اضرب b^{2} في \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

اطرح \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} من طرفي المعادلة.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

قسمة طرفي المعادلة على a^{2}.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$