حل {l}{a-b=-2}{3a+4b=2429}

$$\left. \begin{array} { l } { a - b = - 2 } \\ { 3 a + 4 b = 2429 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a = \frac{2421}{7} = 345\frac{6}{7} \approx 345.857142857$$

$$b = \frac{2435}{7} = 347\frac{6}{7} \approx 347.857142857$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$a-b=-2,3a+4b=2429$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$a-b=-2$$

أضف b إلى طرفي المعادلة.

$$a=b-2$$

عوّض عن a بالقيمة b-2 في المعادلة الأخرى، 3a+4b=2429.

$$3\left(b-2\right)+4b=2429$$

اضرب 3 في b-2.

$$3b-6+4b=2429$$

اجمع 3b مع 4b.

$$7b-6=2429$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$7b=2435$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$b=\frac{2435}{7}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{2435}{7} في a=b-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=\frac{2435}{7}-2$$

اجمع -2 مع \frac{2435}{7}.

$$a=\frac{2421}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{2421}{7},b=\frac{2435}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$a-b=-2,3a+4b=2429$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-3\right)}&\frac{1}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2429\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2429\\-\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2429\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2421}{7}\\\frac{2435}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=\frac{2421}{7},b=\frac{2435}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$a-b=-2,3a+4b=2429$$

لجعل a و3a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3a+3\left(-1\right)b=3\left(-2\right),3a+4b=2429$$

تبسيط.

$$3a-3b=-6,3a+4b=2429$$

اطرح 3a+4b=2429 من 3a-3b=-6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3a-3a-3b-4b=-6-2429$$

اجمع 3a مع -3a. حذف الحدين 3a و-3a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3b-4b=-6-2429$$

اجمع -3b مع -4b.

$$-7b=-6-2429$$

اجمع -6 مع -2429.

$$-7b=-2435$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$b=\frac{2435}{7}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{2435}{7} في 3a+4b=2429. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$3a+4\times \frac{2435}{7}=2429$$

اضرب 4 في \frac{2435}{7}.

$$3a+\frac{9740}{7}=2429$$

اطرح \frac{9740}{7} من طرفي المعادلة.

$$3a=\frac{7263}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$a=\frac{2421}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{2421}{7},b=\frac{2435}{7}$$