حل {l}{a+b=2}{2a+3b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { a + b = 2 } \\ { 2 a + 3 b = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=-1$$

$$b=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$a+b=2,2a+3b=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$a+b=2$$

اطرح b من طرفي المعادلة.

$$a=-b+2$$

عوّض عن a بالقيمة -b+2 في المعادلة الأخرى، 2a+3b=7.

$$2\left(-b+2\right)+3b=7$$

اضرب 2 في -b+2.

$$-2b+4+3b=7$$

اجمع -2b مع 3b.

$$b+4=7$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$b=3$$

عوّض عن b بالقيمة 3 في a=-b+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-3+2$$

اجمع 2 مع -3.

$$a=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=-1,b=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$a+b=2,2a+3b=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 2-7\\-2\times 2+7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=-1,b=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$a+b=2,2a+3b=7$$

لجعل a و2a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2a+2b=2\times 2,2a+3b=7$$

تبسيط.

$$2a+2b=4,2a+3b=7$$

اطرح 2a+3b=7 من 2a+2b=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2a-2a+2b-3b=4-7$$

اجمع 2a مع -2a. حذف الحدين 2a و-2a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2b-3b=4-7$$

اجمع 2b مع -3b.

$$-b=4-7$$

اجمع 4 مع -7.

$$-b=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$b=3$$

عوّض عن b بالقيمة 3 في 2a+3b=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$2a+3\times 3=7$$

اضرب 3 في 3.

$$2a+9=7$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$2a=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$a=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=-1,b=3$$