حل {l}{950x-120y=13}{490y-120x=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 950 x - 120 y = 13 } \\ { 490 y - 120 x = - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{125}{9022}\approx 0.013855021$$

$$y=\frac{61}{45110}\approx 0.00135225$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$950x-120y=13,-120x+490y=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$950x-120y=13$$

أضف 120y إلى طرفي المعادلة.

$$950x=120y+13$$

قسمة طرفي المعادلة على 950.

$$x=\frac{1}{950}\left(120y+13\right)$$

اضرب \frac{1}{950} في 120y+13.

$$x=\frac{12}{95}y+\frac{13}{950}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{12y}{95}+\frac{13}{950} في المعادلة الأخرى، -120x+490y=-1.

$$-120\left(\frac{12}{95}y+\frac{13}{950}\right)+490y=-1$$

اضرب -120 في \frac{12y}{95}+\frac{13}{950}.

$$-\frac{288}{19}y-\frac{156}{95}+490y=-1$$

اجمع -\frac{288y}{19} مع 490y.

$$\frac{9022}{19}y-\frac{156}{95}=-1$$

أضف \frac{156}{95} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{9022}{19}y=\frac{61}{95}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{9022}{19}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{61}{45110}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{61}{45110} في x=\frac{12}{95}y+\frac{13}{950}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{12}{95}\times \frac{61}{45110}+\frac{13}{950}$$

اضرب \frac{12}{95} في \frac{61}{45110} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{366}{2142725}+\frac{13}{950}$$

اجمع \frac{13}{950} مع \frac{366}{2142725} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{125}{9022}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{125}{9022},y=\frac{61}{45110}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$950x-120y=13,-120x+490y=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}950&-120\\-120&490\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{490}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}&-\frac{-120}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}\\-\frac{-120}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}&\frac{950}{950\times 490-\left(-120\left(-120\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{45110}&\frac{6}{22555}\\\frac{6}{22555}&\frac{19}{9022}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{45110}\times 13+\frac{6}{22555}\left(-1\right)\\\frac{6}{22555}\times 13+\frac{19}{9022}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{125}{9022}\\\frac{61}{45110}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{125}{9022},y=\frac{61}{45110}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$950x-120y=13,-120x+490y=-1$$

لجعل 950x و-120x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -120 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 950.

$$-120\times 950x-120\left(-120\right)y=-120\times 13,950\left(-120\right)x+950\times 490y=950\left(-1\right)$$

تبسيط.

$$-114000x+14400y=-1560,-114000x+465500y=-950$$

اطرح -114000x+465500y=-950 من -114000x+14400y=-1560 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-114000x+114000x+14400y-465500y=-1560+950$$

اجمع -114000x مع 114000x. حذف الحدين -114000x و114000x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$14400y-465500y=-1560+950$$

اجمع 14400y مع -465500y.

$$-451100y=-1560+950$$

اجمع -1560 مع 950.

$$-451100y=-610$$

قسمة طرفي المعادلة على -451100.

$$y=\frac{61}{45110}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{61}{45110} في -120x+490y=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-120x+490\times \frac{61}{45110}=-1$$

اضرب 490 في \frac{61}{45110}.

$$-120x+\frac{2989}{4511}=-1$$

اطرح \frac{2989}{4511} من طرفي المعادلة.

$$-120x=-\frac{7500}{4511}$$

قسمة طرفي المعادلة على -120.

$$x=\frac{125}{9022}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{125}{9022},y=\frac{61}{45110}$$