حل {l}{9x-7y=-19}{3x+y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 7 y = - 19 } \\ { 3 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$9x-7y=-19$$

أضف 7y إلى طرفي المعادلة.

$$9x=7y-19$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(7y-19\right)$$

اضرب \frac{1}{9} في 7y-19.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7y-19}{9} في المعادلة الأخرى، 3x+y=7.

$$3\left(\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}\right)+y=7$$

اضرب 3 في \frac{7y-19}{9}.

$$\frac{7}{3}y-\frac{19}{3}+y=7$$

اجمع \frac{7y}{3} مع y.

$$\frac{10}{3}y-\frac{19}{3}=7$$

أضف \frac{19}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{10}{3}y=\frac{40}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{10}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{7}{9}\times 4-\frac{19}{9}$$

اضرب \frac{7}{9} في 4.

$$x=\frac{28-19}{9}$$

اجمع -\frac{19}{9} مع \frac{28}{9} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-7\times 3\right)}&-\frac{-7}{9-\left(-7\times 3\right)}\\-\frac{3}{9-\left(-7\times 3\right)}&\frac{9}{9-\left(-7\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&\frac{7}{30}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\left(-19\right)+\frac{7}{30}\times 7\\-\frac{1}{10}\left(-19\right)+\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

لجعل 9x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 9.

$$3\times 9x+3\left(-7\right)y=3\left(-19\right),9\times 3x+9y=9\times 7$$

تبسيط.

$$27x-21y=-57,27x+9y=63$$

اطرح 27x+9y=63 من 27x-21y=-57 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$27x-27x-21y-9y=-57-63$$

اجمع 27x مع -27x. حذف الحدين 27x و-27x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-21y-9y=-57-63$$

اجمع -21y مع -9y.

$$-30y=-57-63$$

اجمع -57 مع -63.

$$-30y=-120$$

قسمة طرفي المعادلة على -30.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 3x+y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+4=7$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$3x=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=4$$