حل {l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$9x-3y-13=0$$

أضف 13 إلى طرفي المعادلة.

$$9x-3y=13$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$9x=3y+13$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

اضرب \frac{1}{9} في 3y+13.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{3}+\frac{13}{9} في المعادلة الأخرى، 2x+y-4=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

اضرب 2 في \frac{y}{3}+\frac{13}{9}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

اجمع \frac{2y}{3} مع y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

اجمع \frac{26}{9} مع -4.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

أضف \frac{10}{9} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{2}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{2}{3} في x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

اضرب \frac{1}{3} في \frac{2}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{2+13}{9}$$

اجمع \frac{13}{9} مع \frac{2}{9} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{5}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

لجعل 9x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 9.

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

تبسيط.

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

اطرح 18x+9y-36=0 من 18x-6y-26=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

اجمع 18x مع -18x. حذف الحدين 18x و-18x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6y-9y-26+36=0$$

اجمع -6y مع -9y.

$$-15y-26+36=0$$

اجمع -26 مع 36.

$$-15y+10=0$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$-15y=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$y=\frac{2}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{2}{3} في 2x+y-4=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

اجمع \frac{2}{3} مع -4.

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

أضف \frac{10}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{10}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$