حل {l}{9x+y=88}{7x-8y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + y = 88 } \\ { 7 x - 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=9$$

$$y=7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$9x+y=88$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$9x=-y+88$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+88\right)$$

اضرب \frac{1}{9} في -y+88.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+88}{9} في المعادلة الأخرى، 7x-8y=7.

$$7\left(-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}\right)-8y=7$$

اضرب 7 في \frac{-y+88}{9}.

$$-\frac{7}{9}y+\frac{616}{9}-8y=7$$

اجمع -\frac{7y}{9} مع -8y.

$$-\frac{79}{9}y+\frac{616}{9}=7$$

اطرح \frac{616}{9} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{79}{9}y=-\frac{553}{9}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{79}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{9}\times 7+\frac{88}{9}$$

اضرب -\frac{1}{9} في 7.

$$x=\frac{-7+88}{9}$$

اجمع \frac{88}{9} مع -\frac{7}{9} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-7}&-\frac{1}{9\left(-8\right)-7}\\-\frac{7}{9\left(-8\right)-7}&\frac{9}{9\left(-8\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}&\frac{1}{79}\\\frac{7}{79}&-\frac{9}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}\times 88+\frac{1}{79}\times 7\\\frac{7}{79}\times 88-\frac{9}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=9,y=7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

لجعل 9x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 9.

$$7\times 9x+7y=7\times 88,9\times 7x+9\left(-8\right)y=9\times 7$$

تبسيط.

$$63x+7y=616,63x-72y=63$$

اطرح 63x-72y=63 من 63x+7y=616 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$63x-63x+7y+72y=616-63$$

اجمع 63x مع -63x. حذف الحدين 63x و-63x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7y+72y=616-63$$

اجمع 7y مع 72y.

$$79y=616-63$$

اجمع 616 مع -63.

$$79y=553$$

قسمة طرفي المعادلة على 79.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في 7x-8y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x-8\times 7=7$$

اضرب -8 في 7.

$$7x-56=7$$

أضف 56 إلى طرفي المعادلة.

$$7x=63$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=7$$