حل {l}{9x+9y=18}{11x+9y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 9 y = 18 } \\ { 11 x + 9 y = 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$9x+9y=18$$

اطرح 9y من طرفي المعادلة.

$$9x=-9y+18$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-9y+18\right)$$

اضرب \frac{1}{9} في -9y+18.

$$x=-y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -y+2 في المعادلة الأخرى، 11x+9y=16.

$$11\left(-y+2\right)+9y=16$$

اضرب 11 في -y+2.

$$-11y+22+9y=16$$

اجمع -11y مع 9y.

$$-2y+22=16$$

اطرح 22 من طرفي المعادلة.

$$-2y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=-y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-3+2$$

اجمع 2 مع -3.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&9\\11&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-9\times 11}&-\frac{9}{9\times 9-9\times 11}\\-\frac{11}{9\times 9-9\times 11}&\frac{9}{9\times 9-9\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{11}{18}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 18+\frac{1}{2}\times 16\\\frac{11}{18}\times 18-\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$9x+9y=18,11x+9y=16$$

اطرح 11x+9y=16 من 9x+9y=18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$9x-11x+9y-9y=18-16$$

اجمع 9y مع -9y. حذف الحدين 9y و-9y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9x-11x=18-16$$

اجمع 9x مع -11x.

$$-2x=18-16$$

اجمع 18 مع -16.

$$-2x=2$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في 11x+9y=16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$11\left(-1\right)+9y=16$$

اضرب 11 في -1.

$$-11+9y=16$$

أضف 11 إلى طرفي المعادلة.

$$9y=27$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$y=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=3$$