حل {l}{9x+7y=6}{8x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 7 y = 6 } \\ { 8 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

$$y = -\frac{33}{29} = -1\frac{4}{29} \approx -1.137931034$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$9x+7y=6$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$9x=-7y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-7y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{9} في -7y+6.

$$x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} في المعادلة الأخرى، 8x+3y=9.

$$8\left(-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=9$$

اضرب 8 في -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{56}{9}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

اجمع -\frac{56y}{9} مع 3y.

$$-\frac{29}{9}y+\frac{16}{3}=9$$

اطرح \frac{16}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{29}{9}y=\frac{11}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{29}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{33}{29}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{33}{29} في x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-\frac{33}{29}\right)+\frac{2}{3}$$

اضرب -\frac{7}{9} في -\frac{33}{29} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{77}{87}+\frac{2}{3}$$

اجمع \frac{2}{3} مع \frac{77}{87} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{45}{29}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{9\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{9\times 3-7\times 8}&\frac{9}{9\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{8}{29}&-\frac{9}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 6+\frac{7}{29}\times 9\\\frac{8}{29}\times 6-\frac{9}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{29}\\-\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

لجعل 9x و8x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 9.

$$8\times 9x+8\times 7y=8\times 6,9\times 8x+9\times 3y=9\times 9$$

تبسيط.

$$72x+56y=48,72x+27y=81$$

اطرح 72x+27y=81 من 72x+56y=48 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$72x-72x+56y-27y=48-81$$

اجمع 72x مع -72x. حذف الحدين 72x و-72x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$56y-27y=48-81$$

اجمع 56y مع -27y.

$$29y=48-81$$

اجمع 48 مع -81.

$$29y=-33$$

قسمة طرفي المعادلة على 29.

$$y=-\frac{33}{29}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{33}{29} في 8x+3y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$8x+3\left(-\frac{33}{29}\right)=9$$

اضرب 3 في -\frac{33}{29}.

$$8x-\frac{99}{29}=9$$

أضف \frac{99}{29} إلى طرفي المعادلة.

$$8x=\frac{360}{29}$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{45}{29}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$