حل {l}{9x+13y=9}{2x+y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$9x+13y=9$$

اطرح 13y من طرفي المعادلة.

$$9x=-13y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{9} في -13y+9.

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{13y}{9}+1 في المعادلة الأخرى، 2x+y=11.

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

اضرب 2 في -\frac{13y}{9}+1.

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

اجمع -\frac{26y}{9} مع y.

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{17}{9}y=9$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{17}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{81}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{81}{17} في x=-\frac{13}{9}y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

اضرب -\frac{13}{9} في -\frac{81}{17} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{117}{17}+1$$

اجمع 1 مع \frac{117}{17}.

$$x=\frac{134}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

لجعل 9x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 9.

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

تبسيط.

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

اطرح 18x+9y=99 من 18x+26y=18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

اجمع 18x مع -18x. حذف الحدين 18x و-18x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$26y-9y=18-99$$

اجمع 26y مع -9y.

$$17y=18-99$$

اجمع 18 مع -99.

$$17y=-81$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$y=-\frac{81}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{81}{17} في 2x+y=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

أضف \frac{81}{17} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{268}{17}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{134}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$