حل {l}{9m+6n=123}{9m+5n=113}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 m + 6 n = 123 } \\ { 9 m + 5 n = 113 } \end{array} \right.$$

حل مسائل m، n

$$m=7$$

$$n=10$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة m بعزل m على يسار علامة التساوي.

$$9m+6n=123$$

اطرح 6n من طرفي المعادلة.

$$9m=-6n+123$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$m=\frac{1}{9}\left(-6n+123\right)$$

اضرب \frac{1}{9} في -6n+123.

$$m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}$$

عوّض عن m بالقيمة \frac{-2n+41}{3} في المعادلة الأخرى، 9m+5n=113.

$$9\left(-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}\right)+5n=113$$

اضرب 9 في \frac{-2n+41}{3}.

$$-6n+123+5n=113$$

اجمع -6n مع 5n.

$$-n+123=113$$

اطرح 123 من طرفي المعادلة.

$$-n=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$n=10$$

عوّض عن n بالقيمة 10 في m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$m=-\frac{2}{3}\times 10+\frac{41}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في 10.

$$m=\frac{-20+41}{3}$$

اجمع \frac{41}{3} مع -\frac{20}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$m=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=7,n=10$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{9\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{9\times 5-6\times 9}&\frac{9}{9\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}&\frac{2}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}\times 123+\frac{2}{3}\times 113\\123-113\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة m وn.

$$m=7,n=10$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

اطرح 9m+5n=113 من 9m+6n=123 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$9m-9m+6n-5n=123-113$$

اجمع 9m مع -9m. حذف الحدين 9m و-9m، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6n-5n=123-113$$

اجمع 6n مع -5n.

$$n=123-113$$

اجمع 123 مع -113.

$$n=10$$

عوّض عن n بالقيمة 10 في 9m+5n=113. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة m مباشرةً.

$$9m+5\times 10=113$$

اضرب 5 في 10.

$$9m+50=113$$

اطرح 50 من طرفي المعادلة.

$$9m=63$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$m=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$m=7,n=10$$