حل {l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$80x+160y=4$$

اطرح 160y من طرفي المعادلة.

$$80x=-160y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 80.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{80} في -160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+\frac{1}{20} في المعادلة الأخرى، 5600x+5600y=5536.

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

اضرب 5600 في -2y+\frac{1}{20}.

$$-11200y+280+5600y=5536$$

اجمع -11200y مع 5600y.

$$-5600y+280=5536$$

اطرح 280 من طرفي المعادلة.

$$-5600y=5256$$

قسمة طرفي المعادلة على -5600.

$$y=-\frac{657}{700}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{657}{700} في x=-2y+\frac{1}{20}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

اضرب -2 في -\frac{657}{700}.

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

اجمع \frac{1}{20} مع \frac{657}{350} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1349}{700}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

لجعل 80x و5600x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5600 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 80.

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

تبسيط.

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

اطرح 448000x+448000y=442880 من 448000x+896000y=22400 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

اجمع 448000x مع -448000x. حذف الحدين 448000x و-448000x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$896000y-448000y=22400-442880$$

اجمع 896000y مع -448000y.

$$448000y=22400-442880$$

اجمع 22400 مع -442880.

$$448000y=-420480$$

قسمة طرفي المعادلة على 448000.

$$y=-\frac{657}{700}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{657}{700} في 5600x+5600y=5536. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

اضرب 5600 في -\frac{657}{700}.

$$5600x-5256=5536$$

أضف 5256 إلى طرفي المعادلة.

$$5600x=10792$$

قسمة طرفي المعادلة على 5600.

$$x=\frac{1349}{700}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$