حل {l}{8y+x=7}{7y+8x=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 y + x = 7 } \\ { 7 y + 8 x = 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = \frac{79}{57} = 1\frac{22}{57} \approx 1.385964912$$

$$y=\frac{40}{57}\approx 0.701754386$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$8y+x=7$$

اطرح x من طرفي المعادلة.

$$8y=-x+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=\frac{1}{8}\left(-x+7\right)$$

اضرب \frac{1}{8} في -x+7.

$$y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{-x+7}{8} في المعادلة الأخرى، 7y+8x=16.

$$7\left(-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}\right)+8x=16$$

اضرب 7 في \frac{-x+7}{8}.

$$-\frac{7}{8}x+\frac{49}{8}+8x=16$$

اجمع -\frac{7x}{8} مع 8x.

$$\frac{57}{8}x+\frac{49}{8}=16$$

اطرح \frac{49}{8} من طرفي المعادلة.

$$\frac{57}{8}x=\frac{79}{8}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{57}{8}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{79}{57}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{79}{57} في y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{1}{8}\times \frac{79}{57}+\frac{7}{8}$$

اضرب -\frac{1}{8} في \frac{79}{57} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=-\frac{79}{456}+\frac{7}{8}$$

اجمع \frac{7}{8} مع -\frac{79}{456} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{40}{57}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-7}&-\frac{1}{8\times 8-7}\\-\frac{7}{8\times 8-7}&\frac{8}{8\times 8-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}&-\frac{1}{57}\\-\frac{7}{57}&\frac{8}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}\times 7-\frac{1}{57}\times 16\\-\frac{7}{57}\times 7+\frac{8}{57}\times 16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{57}\\\frac{79}{57}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

لجعل 8y و7y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 8.

$$7\times 8y+7x=7\times 7,8\times 7y+8\times 8x=8\times 16$$

تبسيط.

$$56y+7x=49,56y+64x=128$$

اطرح 56y+64x=128 من 56y+7x=49 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$56y-56y+7x-64x=49-128$$

اجمع 56y مع -56y. حذف الحدين 56y و-56y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7x-64x=49-128$$

اجمع 7x مع -64x.

$$-57x=49-128$$

اجمع 49 مع -128.

$$-57x=-79$$

قسمة طرفي المعادلة على -57.

$$x=\frac{79}{57}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{79}{57} في 7y+8x=16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$7y+8\times \frac{79}{57}=16$$

اضرب 8 في \frac{79}{57}.

$$7y+\frac{632}{57}=16$$

اطرح \frac{632}{57} من طرفي المعادلة.

$$7y=\frac{280}{57}$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=\frac{40}{57}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$