حل {l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$8x-5y=10$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$8x=5y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{8} في 10+5y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} في المعادلة الأخرى، 6x-4y=11.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

اضرب 6 في \frac{5}{4}+\frac{5y}{8}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

اجمع \frac{15y}{4} مع -4y.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

اطرح \frac{15}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في -4.

$$y=-14$$

عوّض عن y بالقيمة -14 في x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

اضرب \frac{5}{8} في -14.

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

اجمع \frac{5}{4} مع -\frac{35}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{15}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

لجعل 8x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 8.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

تبسيط.

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

اطرح 48x-32y=88 من 48x-30y=60 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

اجمع 48x مع -48x. حذف الحدين 48x و-48x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-30y+32y=60-88$$

اجمع -30y مع 32y.

$$2y=60-88$$

اجمع 60 مع -88.

$$2y=-28$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-14$$

عوّض عن y بالقيمة -14 في 6x-4y=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

اضرب -4 في -14.

$$6x+56=11$$

اطرح 56 من طرفي المعادلة.

$$6x=-45$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-\frac{15}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$