حل {l}{8x+y=64}{x+y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 64 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$y = \frac{272}{7} = 38\frac{6}{7} \approx 38.857142857$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$8x+y=64,x+y=42$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$8x+y=64$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$8x=-y+64$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+64\right)$$

اضرب \frac{1}{8} في -y+64.

$$x=-\frac{1}{8}y+8$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{8}+8 في المعادلة الأخرى، x+y=42.

$$-\frac{1}{8}y+8+y=42$$

اجمع -\frac{y}{8} مع y.

$$\frac{7}{8}y+8=42$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{8}y=34$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{8}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{272}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{272}{7} في x=-\frac{1}{8}y+8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{272}{7}+8$$

اضرب -\frac{1}{8} في \frac{272}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{34}{7}+8$$

اجمع 8 مع -\frac{34}{7}.

$$x=\frac{22}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$8x+y=64,x+y=42$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-1}&-\frac{1}{8-1}\\-\frac{1}{8-1}&\frac{8}{8-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\42\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 64-\frac{1}{7}\times 42\\-\frac{1}{7}\times 64+\frac{8}{7}\times 42\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\\frac{272}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$8x+y=64,x+y=42$$

اطرح x+y=42 من 8x+y=64 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-x+y-y=64-42$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8x-x=64-42$$

اجمع 8x مع -x.

$$7x=64-42$$

اجمع 64 مع -42.

$$7x=22$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{22}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{22}{7} في x+y=42. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$\frac{22}{7}+y=42$$

اطرح \frac{22}{7} من طرفي المعادلة.

$$y=\frac{272}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{272}{7}$$