حل {l}{8x+9y=-13}{39x+28y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 9 y = - 13 } \\ { 39 x + 28 y = 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=-5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$8x+9y=-13,39x+28y=16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$8x+9y=-13$$

اطرح 9y من طرفي المعادلة.

$$8x=-9y-13$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-9y-13\right)$$

اضرب \frac{1}{8} في -9y-13.

$$x=-\frac{9}{8}y-\frac{13}{8}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-9y-13}{8} في المعادلة الأخرى، 39x+28y=16.

$$39\left(-\frac{9}{8}y-\frac{13}{8}\right)+28y=16$$

اضرب 39 في \frac{-9y-13}{8}.

$$-\frac{351}{8}y-\frac{507}{8}+28y=16$$

اجمع -\frac{351y}{8} مع 28y.

$$-\frac{127}{8}y-\frac{507}{8}=16$$

أضف \frac{507}{8} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{127}{8}y=\frac{635}{8}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{127}{8}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في x=-\frac{9}{8}y-\frac{13}{8}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{9}{8}\left(-5\right)-\frac{13}{8}$$

اضرب -\frac{9}{8} في -5.

$$x=\frac{45-13}{8}$$

اجمع -\frac{13}{8} مع \frac{45}{8} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=-5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$8x+9y=-13,39x+28y=16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}8&9\\39&28\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}8&9\\39&28\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\39&28\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&9\\39&28\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\39&28\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\39&28\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\39&28\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{8\times 28-9\times 39}&-\frac{9}{8\times 28-9\times 39}\\-\frac{39}{8\times 28-9\times 39}&\frac{8}{8\times 28-9\times 39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{127}&\frac{9}{127}\\\frac{39}{127}&-\frac{8}{127}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{127}\left(-13\right)+\frac{9}{127}\times 16\\\frac{39}{127}\left(-13\right)-\frac{8}{127}\times 16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=-5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$8x+9y=-13,39x+28y=16$$

لجعل 8x و39x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 39 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 8.

$$39\times 8x+39\times 9y=39\left(-13\right),8\times 39x+8\times 28y=8\times 16$$

تبسيط.

$$312x+351y=-507,312x+224y=128$$

اطرح 312x+224y=128 من 312x+351y=-507 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$312x-312x+351y-224y=-507-128$$

اجمع 312x مع -312x. حذف الحدين 312x و-312x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$351y-224y=-507-128$$

اجمع 351y مع -224y.

$$127y=-507-128$$

اجمع -507 مع -128.

$$127y=-635$$

قسمة طرفي المعادلة على 127.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في 39x+28y=16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$39x+28\left(-5\right)=16$$

اضرب 28 في -5.

$$39x-140=16$$

أضف 140 إلى طرفي المعادلة.

$$39x=156$$

قسمة طرفي المعادلة على 39.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=-5$$