حل {l}{8x+4y=-4}{4x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$8x+4y=-4$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$8x=-4y-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y-4\right)$$

اضرب \frac{1}{8} في -4y-4.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y-1}{2} في المعادلة الأخرى، 4x-2y=8.

$$4\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-2y=8$$

اضرب 4 في \frac{-y-1}{2}.

$$-2y-2-2y=8$$

اجمع -2y مع -2y.

$$-4y-2=8$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$-4y=10$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=-\frac{5}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5}{2} في x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{1}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في -\frac{5}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}$$

اجمع -\frac{1}{2} مع \frac{5}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{3}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4\times 4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\left(-4\right)+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{1}{8}\left(-4\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

لجعل 8x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 8.

$$4\times 8x+4\times 4y=4\left(-4\right),8\times 4x+8\left(-2\right)y=8\times 8$$

تبسيط.

$$32x+16y=-16,32x-16y=64$$

اطرح 32x-16y=64 من 32x+16y=-16 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$32x-32x+16y+16y=-16-64$$

اجمع 32x مع -32x. حذف الحدين 32x و-32x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$16y+16y=-16-64$$

اجمع 16y مع 16y.

$$32y=-16-64$$

اجمع -16 مع -64.

$$32y=-80$$

قسمة طرفي المعادلة على 32.

$$y=-\frac{5}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5}{2} في 4x-2y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-2\left(-\frac{5}{2}\right)=8$$

اضرب -2 في -\frac{5}{2}.

$$4x+5=8$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$4x=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{3}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$