حل {l}{8a-b=9}{4a+9b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$8a-b=9$$

أضف b إلى طرفي المعادلة.

$$8a=b+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

اضرب \frac{1}{8} في b+9.

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{9+b}{8} في المعادلة الأخرى، 4a+9b=7.

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

اضرب 4 في \frac{9+b}{8}.

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

اجمع \frac{b}{2} مع 9b.

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

اطرح \frac{9}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{19}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=\frac{5}{19}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{5}{19} في a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

اضرب \frac{1}{8} في \frac{5}{19} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

اجمع \frac{9}{8} مع \frac{5}{152} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=\frac{22}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

لجعل 8a و4a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 8.

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

تبسيط.

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

اطرح 32a+72b=56 من 32a-4b=36 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

اجمع 32a مع -32a. حذف الحدين 32a و-32a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4b-72b=36-56$$

اجمع -4b مع -72b.

$$-76b=36-56$$

اجمع 36 مع -56.

$$-76b=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على -76.

$$b=\frac{5}{19}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{5}{19} في 4a+9b=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

اضرب 9 في \frac{5}{19}.

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

اطرح \frac{45}{19} من طرفي المعادلة.

$$4a=\frac{88}{19}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$a=\frac{22}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$