حل {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=6$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$8+4x-2y=0$$

اطرح 8 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$4x-2y=-8$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3y لكلا الجانبين.

$$-4x+3y=14$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-2y=-8$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=2y-8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}-2 في المعادلة الأخرى، -4x+3y=14.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

اضرب -4 في \frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

اجمع -2y مع 3y.

$$y+8=14$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في x=\frac{1}{2}y-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

اضرب \frac{1}{2} في 6.

$$x=3-2$$

اجمع -2 مع 3.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=6$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$8+4x-2y=0$$

اطرح 8 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$4x-2y=-8$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3y لكلا الجانبين.

$$-4x+3y=14$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=6$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$8+4x-2y=0$$

اطرح 8 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$4x-2y=-8$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3y لكلا الجانبين.

$$-4x+3y=14$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

لجعل 4x و-4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

تبسيط.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

اطرح -16x+12y=56 من -16x+8y=32 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

اجمع -16x مع 16x. حذف الحدين -16x و16x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y-12y=32-56$$

اجمع 8y مع -12y.

$$-4y=32-56$$

اجمع 32 مع -56.

$$-4y=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في -4x+3y=14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-4x+3\times 6=14$$

اضرب 3 في 6.

$$-4x+18=14$$

اطرح 18 من طرفي المعادلة.

$$-4x=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=6$$