حل {l}{7x-8y=9}{4x+3y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x-8y=9,4x+3y=-10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x-8y=9$$

أضف 8y إلى طرفي المعادلة.

$$7x=8y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في 8y+9.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{8y+9}{7} في المعادلة الأخرى، 4x+3y=-10.

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)+3y=-10$$

اضرب 4 في \frac{8y+9}{7}.

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}+3y=-10$$

اجمع \frac{32y}{7} مع 3y.

$$\frac{53}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

اطرح \frac{36}{7} من طرفي المعادلة.

$$\frac{53}{7}y=-\frac{106}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{53}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{8}{7}\left(-2\right)+\frac{9}{7}$$

اضرب \frac{8}{7} في -2.

$$x=\frac{-16+9}{7}$$

اجمع \frac{9}{7} مع -\frac{16}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x-8y=9,4x+3y=-10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{8}{53}\\-\frac{4}{53}&\frac{7}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 9+\frac{8}{53}\left(-10\right)\\-\frac{4}{53}\times 9+\frac{7}{53}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x-8y=9,4x+3y=-10$$

لجعل 7x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\times 3y=7\left(-10\right)$$

تبسيط.

$$28x-32y=36,28x+21y=-70$$

اطرح 28x+21y=-70 من 28x-32y=36 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$28x-28x-32y-21y=36+70$$

اجمع 28x مع -28x. حذف الحدين 28x و-28x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-32y-21y=36+70$$

اجمع -32y مع -21y.

$$-53y=36+70$$

اجمع 36 مع 70.

$$-53y=106$$

قسمة طرفي المعادلة على -53.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في 4x+3y=-10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+3\left(-2\right)=-10$$

اضرب 3 في -2.

$$4x-6=-10$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-2$$