حل {l}{7x-2y=11}{x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 2 y = 11 } \\ { x + y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x-2y=11,x+y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x-2y=11$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$7x=2y+11$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(2y+11\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في 2y+11.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y+11}{7} في المعادلة الأخرى، x+y=8.

$$\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}+y=8$$

اجمع \frac{2y}{7} مع y.

$$\frac{9}{7}y+\frac{11}{7}=8$$

اطرح \frac{11}{7} من طرفي المعادلة.

$$\frac{9}{7}y=\frac{45}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{9}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{7}\times 5+\frac{11}{7}$$

اضرب \frac{2}{7} في 5.

$$x=\frac{10+11}{7}$$

اجمع \frac{11}{7} مع \frac{10}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x-2y=11,x+y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{7-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{7-\left(-2\right)}&\frac{7}{7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{2}{9}\times 8\\-\frac{1}{9}\times 11+\frac{7}{9}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x-2y=11,x+y=8$$

لجعل 7x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$7x-2y=11,7x+7y=7\times 8$$

تبسيط.

$$7x-2y=11,7x+7y=56$$

اطرح 7x+7y=56 من 7x-2y=11 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$7x-7x-2y-7y=11-56$$

اجمع 7x مع -7x. حذف الحدين 7x و-7x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y-7y=11-56$$

اجمع -2y مع -7y.

$$-9y=11-56$$

اجمع 11 مع -56.

$$-9y=-45$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x+y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+5=8$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=5$$