حل {l}{7x=y+39}{11x=y-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y + 39 } \\ { 11 x = y - 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-12$$

$$y=-123$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$7x-y=39$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$11x-y=-9$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x-y=39$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$7x=y+39$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y+39\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في y+39.

$$x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{39+y}{7} في المعادلة الأخرى، 11x-y=-9.

$$11\left(\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}\right)-y=-9$$

اضرب 11 في \frac{39+y}{7}.

$$\frac{11}{7}y+\frac{429}{7}-y=-9$$

اجمع \frac{11y}{7} مع -y.

$$\frac{4}{7}y+\frac{429}{7}=-9$$

اطرح \frac{429}{7} من طرفي المعادلة.

$$\frac{4}{7}y=-\frac{492}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{4}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-123$$

عوّض عن y بالقيمة -123 في x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{7}\left(-123\right)+\frac{39}{7}$$

اضرب \frac{1}{7} في -123.

$$x=\frac{-123+39}{7}$$

اجمع \frac{39}{7} مع -\frac{123}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-12$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-12,y=-123$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$7x-y=39$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$11x-y=-9$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 39+\frac{1}{4}\left(-9\right)\\-\frac{11}{4}\times 39+\frac{7}{4}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-123\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-12,y=-123$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$7x-y=39$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح y من الطرفين.

$$11x-y=-9$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

اطرح 11x-y=-9 من 7x-y=39 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$7x-11x-y+y=39+9$$

اجمع -y مع y. حذف الحدين -y وy، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7x-11x=39+9$$

اجمع 7x مع -11x.

$$-4x=39+9$$

اجمع 39 مع 9.

$$-4x=48$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-12$$

عوّض عن x بالقيمة -12 في 11x-y=-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$11\left(-12\right)-y=-9$$

اضرب 11 في -12.

$$-132-y=-9$$

أضف 132 إلى طرفي المعادلة.

$$-y=123$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-123$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-12,y=-123$$