حل {l}{7x+y=-9}{-3x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + y = - 9 } \\ { - 3 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x+y=-9$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$7x=-y-9$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y-9\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في -y-9.

$$x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y-9}{7} في المعادلة الأخرى، -3x-y=5.

$$-3\left(-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}\right)-y=5$$

اضرب -3 في \frac{-y-9}{7}.

$$\frac{3}{7}y+\frac{27}{7}-y=5$$

اجمع \frac{3y}{7} مع -y.

$$-\frac{4}{7}y+\frac{27}{7}=5$$

اطرح \frac{27}{7} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{4}{7}y=\frac{8}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{4}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2\right)-\frac{9}{7}$$

اضرب -\frac{1}{7} في -2.

$$x=\frac{2-9}{7}$$

اجمع -\frac{9}{7} مع \frac{2}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{3}{4}\left(-9\right)-\frac{7}{4}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

لجعل 7x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$-3\times 7x-3y=-3\left(-9\right),7\left(-3\right)x+7\left(-1\right)y=7\times 5$$

تبسيط.

$$-21x-3y=27,-21x-7y=35$$

اطرح -21x-7y=35 من -21x-3y=27 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-21x+21x-3y+7y=27-35$$

اجمع -21x مع 21x. حذف الحدين -21x و21x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y+7y=27-35$$

اجمع -3y مع 7y.

$$4y=27-35$$

اجمع 27 مع -35.

$$4y=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في -3x-y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x-\left(-2\right)=5$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$-3x=3$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-2$$