حل {l}{7x+8y=15}{9x+8y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-7$$

$$y=8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x+8y=15$$

اطرح 8y من طرفي المعادلة.

$$7x=-8y+15$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في -8y+15.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-8y+15}{7} في المعادلة الأخرى، 9x+8y=1.

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

اضرب 9 في \frac{-8y+15}{7}.

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

اجمع -\frac{72y}{7} مع 8y.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

اطرح \frac{135}{7} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{16}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

اضرب -\frac{8}{7} في 8.

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

اجمع \frac{15}{7} مع -\frac{64}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-7,y=8$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-7,y=8$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

اطرح 9x+8y=1 من 7x+8y=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

اجمع 8y مع -8y. حذف الحدين 8y و-8y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7x-9x=15-1$$

اجمع 7x مع -9x.

$$-2x=15-1$$

اجمع 15 مع -1.

$$-2x=14$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-7$$

عوّض عن x بالقيمة -7 في 9x+8y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

اضرب 9 في -7.

$$-63+8y=1$$

أضف 63 إلى طرفي المعادلة.

$$8y=64$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-7,y=8$$