حل {l}{7x+5y=12}{8x-2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x+5y=12$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$7x=-5y+12$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في -5y+12.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+12}{7} في المعادلة الأخرى، 8x-2y=7.

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

اضرب 8 في \frac{-5y+12}{7}.

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

اجمع -\frac{40y}{7} مع -2y.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

اطرح \frac{96}{7} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{54}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{47}{54}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{47}{54} في x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

اضرب -\frac{5}{7} في \frac{47}{54} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

اجمع \frac{12}{7} مع -\frac{235}{378} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{59}{54}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

لجعل 7x و8x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

تبسيط.

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

اطرح 56x-14y=49 من 56x+40y=96 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

اجمع 56x مع -56x. حذف الحدين 56x و-56x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$40y+14y=96-49$$

اجمع 40y مع 14y.

$$54y=96-49$$

اجمع 96 مع -49.

$$54y=47$$

قسمة طرفي المعادلة على 54.

$$y=\frac{47}{54}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{47}{54} في 8x-2y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

اضرب -2 في \frac{47}{54}.

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

أضف \frac{47}{27} إلى طرفي المعادلة.

$$8x=\frac{236}{27}$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{59}{54}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$