حل {l}{7x+4y=52}{4x-4y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 y = 52 } \\ { 4 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x+4y=52$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$7x=-4y+52$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+52\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في -4y+52.

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-4y+52}{7} في المعادلة الأخرى، 4x-4y=-8.

$$4\left(-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}\right)-4y=-8$$

اضرب 4 في \frac{-4y+52}{7}.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{208}{7}-4y=-8$$

اجمع -\frac{16y}{7} مع -4y.

$$-\frac{44}{7}y+\frac{208}{7}=-8$$

اطرح \frac{208}{7} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{44}{7}y=-\frac{264}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{44}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{4}{7}\times 6+\frac{52}{7}$$

اضرب -\frac{4}{7} في 6.

$$x=\frac{-24+52}{7}$$

اجمع \frac{52}{7} مع -\frac{24}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&\frac{7}{7\left(-4\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 52+\frac{1}{11}\left(-8\right)\\\frac{1}{11}\times 52-\frac{7}{44}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

لجعل 7x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$4\times 7x+4\times 4y=4\times 52,7\times 4x+7\left(-4\right)y=7\left(-8\right)$$

تبسيط.

$$28x+16y=208,28x-28y=-56$$

اطرح 28x-28y=-56 من 28x+16y=208 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$28x-28x+16y+28y=208+56$$

اجمع 28x مع -28x. حذف الحدين 28x و-28x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$16y+28y=208+56$$

اجمع 16y مع 28y.

$$44y=208+56$$

اجمع 208 مع 56.

$$44y=264$$

قسمة طرفي المعادلة على 44.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في 4x-4y=-8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-4\times 6=-8$$

اضرب -4 في 6.

$$4x-24=-8$$

أضف 24 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=16$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=6$$