حل {l}{7x+3y=4}{2x+4y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 4 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

$$y = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11} \approx 2.181818182$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x+3y=4$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$7x=-3y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في -3y+4.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+4}{7} في المعادلة الأخرى، 2x+4y=8.

$$2\left(-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}\right)+4y=8$$

اضرب 2 في \frac{-3y+4}{7}.

$$-\frac{6}{7}y+\frac{8}{7}+4y=8$$

اجمع -\frac{6y}{7} مع 4y.

$$\frac{22}{7}y+\frac{8}{7}=8$$

اطرح \frac{8}{7} من طرفي المعادلة.

$$\frac{22}{7}y=\frac{48}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{22}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{24}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{24}{11} في x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{7}\times \frac{24}{11}+\frac{4}{7}$$

اضرب -\frac{3}{7} في \frac{24}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{72}{77}+\frac{4}{7}$$

اجمع \frac{4}{7} مع -\frac{72}{77} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{4}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-3\times 2}&-\frac{3}{7\times 4-3\times 2}\\-\frac{2}{7\times 4-3\times 2}&\frac{7}{7\times 4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4-\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 4+\frac{7}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\\\frac{24}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

لجعل 7x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$2\times 7x+2\times 3y=2\times 4,7\times 2x+7\times 4y=7\times 8$$

تبسيط.

$$14x+6y=8,14x+28y=56$$

اطرح 14x+28y=56 من 14x+6y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$14x-14x+6y-28y=8-56$$

اجمع 14x مع -14x. حذف الحدين 14x و-14x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-28y=8-56$$

اجمع 6y مع -28y.

$$-22y=8-56$$

اجمع 8 مع -56.

$$-22y=-48$$

قسمة طرفي المعادلة على -22.

$$y=\frac{24}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{24}{11} في 2x+4y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+4\times \frac{24}{11}=8$$

اضرب 4 في \frac{24}{11}.

$$2x+\frac{96}{11}=8$$

اطرح \frac{96}{11} من طرفي المعادلة.

$$2x=-\frac{8}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-\frac{4}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$