حل {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل w، z

$$z=1$$

$$w=2$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2z من الطرفين.

$$5w-2z=8$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة w بعزل w على يسار علامة التساوي.

$$7w+2z=16$$

اطرح 2z من طرفي المعادلة.

$$7w=-2z+16$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في -2z+16.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

عوّض عن w بالقيمة \frac{-2z+16}{7} في المعادلة الأخرى، 5w-2z=8.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

اضرب 5 في \frac{-2z+16}{7}.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

اجمع -\frac{10z}{7} مع -2z.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

اطرح \frac{80}{7} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{24}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$z=1$$

عوّض عن z بالقيمة 1 في w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة w مباشرةً.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

اجمع \frac{16}{7} مع -\frac{2}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$w=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$w=2,z=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2z من الطرفين.

$$5w-2z=8$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة w وz.

$$w=2,z=1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2z من الطرفين.

$$5w-2z=8$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

لجعل 7w و5w متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

تبسيط.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

اطرح 35w-14z=56 من 35w+10z=80 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

اجمع 35w مع -35w. حذف الحدين 35w و-35w، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10z+14z=80-56$$

اجمع 10z مع 14z.

$$24z=80-56$$

اجمع 80 مع -56.

$$24z=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 24.

$$z=1$$

عوّض عن z بالقيمة 1 في 5w-2z=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة w مباشرةً.

$$5w-2=8$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$5w=10$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$w=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$w=2,z=1$$