حل {l}{6.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3} \approx 37.333333333$$

$$y = -\frac{701}{3} = -233\frac{2}{3} \approx -233.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6.5x+y=9$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$6.5x=-y+9$$

اقسم طرفي المعادلة على 6.5، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{2}{13}\left(-y+9\right)$$

اضرب \frac{2}{13} في -y+9.

$$x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+18}{13} في المعادلة الأخرى، 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}\right)+0.2y=13$$

اضرب 1.6 في \frac{-2y+18}{13}.

$$-\frac{16}{65}y+\frac{144}{65}+0.2y=13$$

اجمع -\frac{16y}{65} مع \frac{y}{5}.

$$-\frac{3}{65}y+\frac{144}{65}=13$$

اطرح \frac{144}{65} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{3}{65}y=\frac{701}{65}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{3}{65}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{701}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{701}{3} في x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{13}\left(-\frac{701}{3}\right)+\frac{18}{13}$$

اضرب -\frac{2}{13} في -\frac{701}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1402}{39}+\frac{18}{13}$$

اجمع \frac{18}{13} مع \frac{1402}{39} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{112}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{6.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{6.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{6.5\times 0.2-1.6}&\frac{6.5}{6.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{10}{3}\\\frac{16}{3}&-\frac{65}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 9+\frac{10}{3}\times 13\\\frac{16}{3}\times 9-\frac{65}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{3}\\-\frac{701}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

لجعل \frac{13x}{2} و\frac{8x}{5} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1.6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.5.

$$1.6\times 6.5x+1.6y=1.6\times 9,6.5\times 1.6x+6.5\times 0.2y=6.5\times 13$$

تبسيط.

$$10.4x+1.6y=14.4,10.4x+1.3y=84.5$$

اطرح 10.4x+1.3y=84.5 من 10.4x+1.6y=14.4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10.4x-10.4x+1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

اجمع \frac{52x}{5} مع -\frac{52x}{5}. حذف الحدين \frac{52x}{5} و-\frac{52x}{5}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

اجمع \frac{8y}{5} مع -\frac{13y}{10}.

$$0.3y=14.4-84.5$$

اجمع 14.4 مع -84.5 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$0.3y=-70.1$$

اقسم طرفي المعادلة على 0.3، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{701}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{701}{3} في 1.6x+0.2y=13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$1.6x+0.2\left(-\frac{701}{3}\right)=13$$

اضرب 0.2 في -\frac{701}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$1.6x-\frac{701}{15}=13$$

أضف \frac{701}{15} إلى طرفي المعادلة.

$$1.6x=\frac{896}{15}$$

اقسم طرفي المعادلة على 1.6، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{112}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$