حل {l}{6y+4x=27}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$6y+4x=27$$

اطرح 4x من طرفي المعادلة.

$$6y=-4x+27$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -4x+27.

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2x}{3}+\frac{9}{2} في المعادلة الأخرى، y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

اجمع -\frac{2x}{3} مع x.

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

اطرح \frac{9}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$x=\frac{273}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{273}{2} في y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

اضرب -\frac{2}{3} في \frac{273}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

اجمع \frac{9}{2} مع -91.

$$y=-\frac{173}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

لجعل 6y وy متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

تبسيط.

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

اطرح 6y+6x=300 من 6y+4x=27 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

اجمع 6y مع -6y. حذف الحدين 6y و-6y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4x-6x=27-300$$

اجمع 4x مع -6x.

$$-2x=27-300$$

اجمع 27 مع -300.

$$-2x=-273$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=\frac{273}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{273}{2} في y+x=50. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+\frac{273}{2}=50$$

اطرح \frac{273}{2} من طرفي المعادلة.

$$y=-\frac{173}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$