حل {l}{6x-6y=-30}{-10x+6y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 6 y = - 30 } \\ { - 10 x + 6 y = 22 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x-6y=-30$$

أضف 6y إلى طرفي المعادلة.

$$6x=6y-30$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(6y-30\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -30+6y.

$$x=y-5$$

عوّض عن x بالقيمة y-5 في المعادلة الأخرى، -10x+6y=22.

$$-10\left(y-5\right)+6y=22$$

اضرب -10 في y-5.

$$-10y+50+6y=22$$

اجمع -10y مع 6y.

$$-4y+50=22$$

اطرح 50 من طرفي المعادلة.

$$-4y=-28$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x=y-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=7-5$$

اجمع -5 مع 7.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&-\frac{-6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{12}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{5}{12}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

لجعل 6x و-10x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -10 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$-10\times 6x-10\left(-6\right)y=-10\left(-30\right),6\left(-10\right)x+6\times 6y=6\times 22$$

تبسيط.

$$-60x+60y=300,-60x+36y=132$$

اطرح -60x+36y=132 من -60x+60y=300 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-60x+60x+60y-36y=300-132$$

اجمع -60x مع 60x. حذف الحدين -60x و60x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$60y-36y=300-132$$

اجمع 60y مع -36y.

$$24y=300-132$$

اجمع 300 مع -132.

$$24y=168$$

قسمة طرفي المعادلة على 24.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في -10x+6y=22. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-10x+6\times 7=22$$

اضرب 6 في 7.

$$-10x+42=22$$

اطرح 42 من طرفي المعادلة.

$$-10x=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=7$$