حل {l}{6x-1/3y=27}{4/5x+1/4y=25/4}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - \frac { 1 } { 3 } y = 27 } \\ { \frac { 4 } { 5 } x + \frac { 1 } { 4 } y = \frac { 25 } { 4 } } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x-\frac{1}{3}y=27$$

أضف \frac{y}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$6x=\frac{1}{3}y+27$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}y+27\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في \frac{y}{3}+27.

$$x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{18}+\frac{9}{2} في المعادلة الأخرى، \frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}.

$$\frac{4}{5}\left(\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}\right)+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

اضرب \frac{4}{5} في \frac{y}{18}+\frac{9}{2}.

$$\frac{2}{45}y+\frac{18}{5}+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

اجمع \frac{2y}{45} مع \frac{y}{4}.

$$\frac{53}{180}y+\frac{18}{5}=\frac{25}{4}$$

اطرح \frac{18}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{53}{180}y=\frac{53}{20}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{53}{180}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{18}\times 9+\frac{9}{2}$$

اضرب \frac{1}{18} في 9.

$$x=\frac{1+9}{2}$$

اجمع \frac{9}{2} مع \frac{1}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=9$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\\-\frac{\frac{4}{5}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&\frac{6}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}&\frac{10}{53}\\-\frac{24}{53}&\frac{180}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}\times 27+\frac{10}{53}\times \frac{25}{4}\\-\frac{24}{53}\times 27+\frac{180}{53}\times \frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=9$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

لجعل 6x و\frac{4x}{5} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{4}{5} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$\frac{4}{5}\times 6x+\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{4}{5}\times 27,6\times \frac{4}{5}x+6\times \frac{1}{4}y=6\times \frac{25}{4}$$

تبسيط.

$$\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5},\frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2}$$

اطرح \frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2} من \frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{24}{5}x-\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

اجمع \frac{24x}{5} مع -\frac{24x}{5}. حذف الحدين \frac{24x}{5} و-\frac{24x}{5}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

اجمع -\frac{4y}{15} مع -\frac{3y}{2}.

$$-\frac{53}{30}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

اجمع \frac{108}{5} مع -\frac{75}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$-\frac{53}{30}y=-\frac{159}{10}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{53}{30}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في \frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}\times 9=\frac{25}{4}$$

اضرب \frac{1}{4} في 9.

$$\frac{4}{5}x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

اطرح \frac{9}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{4}{5}x=4$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{4}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=9$$