حل {l}{6x+8y=8}{5x-9y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 8 y = 8 } \\ { 5 x - 9 y = - 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+8y=8,5x-9y=-9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+8y=8$$

اطرح 8y من طرفي المعادلة.

$$6x=-8y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -8y+8.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-4y+4}{3} في المعادلة الأخرى، 5x-9y=-9.

$$5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}\right)-9y=-9$$

اضرب 5 في \frac{-4y+4}{3}.

$$-\frac{20}{3}y+\frac{20}{3}-9y=-9$$

اجمع -\frac{20y}{3} مع -9y.

$$-\frac{47}{3}y+\frac{20}{3}=-9$$

اطرح \frac{20}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{47}{3}y=-\frac{47}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{47}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{-4+4}{3}$$

اجمع \frac{4}{3} مع -\frac{4}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+8y=8,5x-9y=-9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&8\\5&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{6\left(-9\right)-8\times 5}&-\frac{8}{6\left(-9\right)-8\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-9\right)-8\times 5}&\frac{6}{6\left(-9\right)-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{94}&\frac{4}{47}\\\frac{5}{94}&-\frac{3}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{94}\times 8+\frac{4}{47}\left(-9\right)\\\frac{5}{94}\times 8-\frac{3}{47}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+8y=8,5x-9y=-9$$

لجعل 6x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$5\times 6x+5\times 8y=5\times 8,6\times 5x+6\left(-9\right)y=6\left(-9\right)$$

تبسيط.

$$30x+40y=40,30x-54y=-54$$

اطرح 30x-54y=-54 من 30x+40y=40 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$30x-30x+40y+54y=40+54$$

اجمع 30x مع -30x. حذف الحدين 30x و-30x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$40y+54y=40+54$$

اجمع 40y مع 54y.

$$94y=40+54$$

اجمع 40 مع 54.

$$94y=94$$

قسمة طرفي المعادلة على 94.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 5x-9y=-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-9=-9$$

أضف 9 إلى طرفي المعادلة.

$$5x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=1$$