حل {l}{6x+7y=-18}{3x-4y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 7 y = - 18 } \\ { 3 x - 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-3$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+7y=-18$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$6x=-7y-18$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-7y-18\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -7y-18.

$$x=-\frac{7}{6}y-3$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{7y}{6}-3 في المعادلة الأخرى، 3x-4y=-9.

$$3\left(-\frac{7}{6}y-3\right)-4y=-9$$

اضرب 3 في -\frac{7y}{6}-3.

$$-\frac{7}{2}y-9-4y=-9$$

اجمع -\frac{7y}{2} مع -4y.

$$-\frac{15}{2}y-9=-9$$

أضف 9 إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{15}{2}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{15}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=-\frac{7}{6}y-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&7\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-7\times 3}&-\frac{7}{6\left(-4\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{6\left(-4\right)-7\times 3}&\frac{6}{6\left(-4\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{45}&\frac{7}{45}\\\frac{1}{15}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{45}\left(-18\right)+\frac{7}{45}\left(-9\right)\\\frac{1}{15}\left(-18\right)-\frac{2}{15}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-3,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+7y=-18,3x-4y=-9$$

لجعل 6x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$3\times 6x+3\times 7y=3\left(-18\right),6\times 3x+6\left(-4\right)y=6\left(-9\right)$$

تبسيط.

$$18x+21y=-54,18x-24y=-54$$

اطرح 18x-24y=-54 من 18x+21y=-54 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$18x-18x+21y+24y=-54+54$$

اجمع 18x مع -18x. حذف الحدين 18x و-18x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$21y+24y=-54+54$$

اجمع 21y مع 24y.

$$45y=-54+54$$

اجمع -54 مع 54.

$$45y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 45.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في 3x-4y=-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=0$$