حل {l}{6x+5y=4}{6x-7y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 4 } \\ { 6 x - 7 y = - 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+5y=4,6x-7y=-20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+5y=4$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$6x=-5y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -5y+4.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{6}+\frac{2}{3} في المعادلة الأخرى، 6x-7y=-20.

$$6\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}\right)-7y=-20$$

اضرب 6 في -\frac{5y}{6}+\frac{2}{3}.

$$-5y+4-7y=-20$$

اجمع -5y مع -7y.

$$-12y+4=-20$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$-12y=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على -12.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{6}\times 2+\frac{2}{3}$$

اضرب -\frac{5}{6} في 2.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

اجمع \frac{2}{3} مع -\frac{5}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+5y=4,6x-7y=-20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6\left(-7\right)-5\times 6}&-\frac{5}{6\left(-7\right)-5\times 6}\\-\frac{6}{6\left(-7\right)-5\times 6}&\frac{6}{6\left(-7\right)-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{72}&\frac{5}{72}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{72}\times 4+\frac{5}{72}\left(-20\right)\\\frac{1}{12}\times 4-\frac{1}{12}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+5y=4,6x-7y=-20$$

اطرح 6x-7y=-20 من 6x+5y=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+5y+7y=4+20$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y+7y=4+20$$

اجمع 5y مع 7y.

$$12y=4+20$$

اجمع 4 مع 20.

$$12y=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 6x-7y=-20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x-7\times 2=-20$$

اضرب -7 في 2.

$$6x-14=-20$$

أضف 14 إلى طرفي المعادلة.

$$6x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=2$$