حل {l}{6x+5y=27}{2x+y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 27 } \\ { 2 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y=-6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+5y=27$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$6x=-5y+27$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+27\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -5y+27.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2} في المعادلة الأخرى، 2x+y=13.

$$2\left(-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}\right)+y=13$$

اضرب 2 في -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2}.

$$-\frac{5}{3}y+9+y=13$$

اجمع -\frac{5y}{3} مع y.

$$-\frac{2}{3}y+9=13$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{2}{3}y=4$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{2}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-6\right)+\frac{9}{2}$$

اضرب -\frac{5}{6} في -6.

$$x=5+\frac{9}{2}$$

اجمع \frac{9}{2} مع 5.

$$x=\frac{19}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 2}&-\frac{5}{6-5\times 2}\\-\frac{2}{6-5\times 2}&\frac{6}{6-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 27+\frac{5}{4}\times 13\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{3}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\-6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

لجعل 6x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$2\times 6x+2\times 5y=2\times 27,6\times 2x+6y=6\times 13$$

تبسيط.

$$12x+10y=54,12x+6y=78$$

اطرح 12x+6y=78 من 12x+10y=54 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+10y-6y=54-78$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y-6y=54-78$$

اجمع 10y مع -6y.

$$4y=54-78$$

اجمع 54 مع -78.

$$4y=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=-6$$

عوّض عن y بالقيمة -6 في 2x+y=13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-6=13$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=19$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{19}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$