حل {l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+3y=25.95$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$6x=-3y+25.95$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -3y+25.95.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+\frac{173}{40} في المعادلة الأخرى، 4x+6y=26.7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

اضرب 4 في -\frac{y}{2}+\frac{173}{40}.

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

اجمع -2y مع 6y.

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

اطرح \frac{173}{10} من طرفي المعادلة.

$$4y=\frac{47}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=\frac{47}{20}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{47}{20} في x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

اضرب -\frac{1}{2} في \frac{47}{20} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

اجمع \frac{173}{40} مع -\frac{47}{40} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{63}{20}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

لجعل 6x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

تبسيط.

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

اطرح 24x+36y=160.2 من 24x+12y=103.8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

اجمع 24x مع -24x. حذف الحدين 24x و-24x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

اجمع 12y مع -36y.

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

اجمع 103.8 مع -160.2 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$-24y=-56.4$$

قسمة طرفي المعادلة على -24.

$$y=\frac{47}{20}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{47}{20} في 4x+6y=26.7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

اضرب 6 في \frac{47}{20}.

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

اطرح \frac{141}{10} من طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{63}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{63}{20}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$