حل {l}{6x+3y=24}{7x+6y=33}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 24 } \\ { 7 x + 6 y = 33 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+3y=24$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$6x=-3y+24$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+24\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -3y+24.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+4 في المعادلة الأخرى، 7x+6y=33.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)+6y=33$$

اضرب 7 في -\frac{y}{2}+4.

$$-\frac{7}{2}y+28+6y=33$$

اجمع -\frac{7y}{2} مع 6y.

$$\frac{5}{2}y+28=33$$

اطرح 28 من طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{2}y=5$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{1}{2}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

اضرب -\frac{1}{2} في 2.

$$x=-1+4$$

اجمع 4 مع -1.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 7}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 7}\\-\frac{7}{6\times 6-3\times 7}&\frac{6}{6\times 6-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{15}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 24-\frac{1}{5}\times 33\\-\frac{7}{15}\times 24+\frac{2}{5}\times 33\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

لجعل 6x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$7\times 6x+7\times 3y=7\times 24,6\times 7x+6\times 6y=6\times 33$$

تبسيط.

$$42x+21y=168,42x+36y=198$$

اطرح 42x+36y=198 من 42x+21y=168 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$42x-42x+21y-36y=168-198$$

اجمع 42x مع -42x. حذف الحدين 42x و-42x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$21y-36y=168-198$$

اجمع 21y مع -36y.

$$-15y=168-198$$

اجمع 168 مع -198.

$$-15y=-30$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 7x+6y=33. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x+6\times 2=33$$

اضرب 6 في 2.

$$7x+12=33$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$7x=21$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=2$$