حل {l}{6a+b=5}{3a-3b=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 a + b = 5 } \\ { 3 a - 3 b = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=1$$

$$b=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6a+b=5,3a-3b=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$6a+b=5$$

اطرح b من طرفي المعادلة.

$$6a=-b+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$a=\frac{1}{6}\left(-b+5\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -b+5.

$$a=-\frac{1}{6}b+\frac{5}{6}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{-b+5}{6} في المعادلة الأخرى، 3a-3b=6.

$$3\left(-\frac{1}{6}b+\frac{5}{6}\right)-3b=6$$

اضرب 3 في \frac{-b+5}{6}.

$$-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}-3b=6$$

اجمع -\frac{b}{2} مع -3b.

$$-\frac{7}{2}b+\frac{5}{2}=6$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{2}b=\frac{7}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=-1$$

عوّض عن b بالقيمة -1 في a=-\frac{1}{6}b+\frac{5}{6}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-\frac{1}{6}\left(-1\right)+\frac{5}{6}$$

اضرب -\frac{1}{6} في -1.

$$a=\frac{1+5}{6}$$

اجمع \frac{5}{6} مع \frac{1}{6} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=1,b=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6a+b=5,3a-3b=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&1\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{6\left(-3\right)-3}&-\frac{1}{6\left(-3\right)-3}\\-\frac{3}{6\left(-3\right)-3}&\frac{6}{6\left(-3\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{21}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5+\frac{1}{21}\times 6\\\frac{1}{7}\times 5-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=1,b=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6a+b=5,3a-3b=6$$

لجعل 6a و3a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$3\times 6a+3b=3\times 5,6\times 3a+6\left(-3\right)b=6\times 6$$

تبسيط.

$$18a+3b=15,18a-18b=36$$

اطرح 18a-18b=36 من 18a+3b=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$18a-18a+3b+18b=15-36$$

اجمع 18a مع -18a. حذف الحدين 18a و-18a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3b+18b=15-36$$

اجمع 3b مع 18b.

$$21b=15-36$$

اجمع 15 مع -36.

$$21b=-21$$

قسمة طرفي المعادلة على 21.

$$b=-1$$

عوّض عن b بالقيمة -1 في 3a-3b=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$3a-3\left(-1\right)=6$$

اضرب -3 في -1.

$$3a+3=6$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$3a=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$a=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=1,b=-1$$