حل {l}{50x+3y=1}{2x-4y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 3 y = 1 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{19}{206}\approx 0.09223301$$

$$y = -\frac{124}{103} = -1\frac{21}{103} \approx -1.203883495$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$50x+3y=1$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$50x=-3y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 50.

$$x=\frac{1}{50}\left(-3y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{50} في -3y+1.

$$x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+1}{50} في المعادلة الأخرى، 2x-4y=5.

$$2\left(-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}\right)-4y=5$$

اضرب 2 في \frac{-3y+1}{50}.

$$-\frac{3}{25}y+\frac{1}{25}-4y=5$$

اجمع -\frac{3y}{25} مع -4y.

$$-\frac{103}{25}y+\frac{1}{25}=5$$

اطرح \frac{1}{25} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{103}{25}y=\frac{124}{25}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{103}{25}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{124}{103}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{124}{103} في x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{50}\left(-\frac{124}{103}\right)+\frac{1}{50}$$

اضرب -\frac{3}{50} في -\frac{124}{103} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{186}{2575}+\frac{1}{50}$$

اجمع \frac{1}{50} مع \frac{186}{2575} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{19}{206}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{50\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{50\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{50\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{50}{50\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}&\frac{3}{206}\\\frac{1}{103}&-\frac{25}{103}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}+\frac{3}{206}\times 5\\\frac{1}{103}-\frac{25}{103}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{206}\\-\frac{124}{103}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

لجعل 50x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 50.

$$2\times 50x+2\times 3y=2,50\times 2x+50\left(-4\right)y=50\times 5$$

تبسيط.

$$100x+6y=2,100x-200y=250$$

اطرح 100x-200y=250 من 100x+6y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$100x-100x+6y+200y=2-250$$

اجمع 100x مع -100x. حذف الحدين 100x و-100x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y+200y=2-250$$

اجمع 6y مع 200y.

$$206y=2-250$$

اجمع 2 مع -250.

$$206y=-248$$

قسمة طرفي المعادلة على 206.

$$y=-\frac{124}{103}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{124}{103} في 2x-4y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-4\left(-\frac{124}{103}\right)=5$$

اضرب -4 في -\frac{124}{103}.

$$2x+\frac{496}{103}=5$$

اطرح \frac{496}{103} من طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{19}{103}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{19}{206}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$