حل {l}{50x+25y=4500}{y-x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 25 y = 4500 } \\ { y - x = 30 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=50$$

$$y=80$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$50x+25y=4500,-x+y=30$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$50x+25y=4500$$

اطرح 25y من طرفي المعادلة.

$$50x=-25y+4500$$

قسمة طرفي المعادلة على 50.

$$x=\frac{1}{50}\left(-25y+4500\right)$$

اضرب \frac{1}{50} في -25y+4500.

$$x=-\frac{1}{2}y+90$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+90 في المعادلة الأخرى، -x+y=30.

$$-\left(-\frac{1}{2}y+90\right)+y=30$$

اضرب -1 في -\frac{y}{2}+90.

$$\frac{1}{2}y-90+y=30$$

اجمع \frac{y}{2} مع y.

$$\frac{3}{2}y-90=30$$

أضف 90 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}y=120$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=80$$

عوّض عن y بالقيمة 80 في x=-\frac{1}{2}y+90. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 80+90$$

اضرب -\frac{1}{2} في 80.

$$x=-40+90$$

اجمع 90 مع -40.

$$x=50$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=50,y=80$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$50x+25y=4500,-x+y=30$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}50&25\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4500\\30\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}50&25\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&25\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&25\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&25\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4500\\30\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&25\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4500\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&25\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4500\\30\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-25\left(-1\right)}&-\frac{25}{50-25\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{50-25\left(-1\right)}&\frac{50}{50-25\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4500\\30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{75}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{75}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4500\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{75}\times 4500-\frac{1}{3}\times 30\\\frac{1}{75}\times 4500+\frac{2}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\80\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=50,y=80$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$50x+25y=4500,-x+y=30$$

لجعل 50x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 50.

$$-50x-25y=-4500,50\left(-1\right)x+50y=50\times 30$$

تبسيط.

$$-50x-25y=-4500,-50x+50y=1500$$

اطرح -50x+50y=1500 من -50x-25y=-4500 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-50x+50x-25y-50y=-4500-1500$$

اجمع -50x مع 50x. حذف الحدين -50x و50x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-25y-50y=-4500-1500$$

اجمع -25y مع -50y.

$$-75y=-4500-1500$$

اجمع -4500 مع -1500.

$$-75y=-6000$$

قسمة طرفي المعادلة على -75.

$$y=80$$

عوّض عن y بالقيمة 80 في -x+y=30. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+80=30$$

اطرح 80 من طرفي المعادلة.

$$-x=-50$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=50$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=50,y=80$$