حل {l}{5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = -\frac{38}{3} = -12\frac{2}{3} \approx -12.666666667$$

$$y = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$5y+8x=-18$$

اطرح 8x من طرفي المعادلة.

$$5y=-8x-18$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -8x-18.

$$y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{-8x-18}{5} في المعادلة الأخرى، 5y+2x=58.

$$5\left(-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

اضرب 5 في \frac{-8x-18}{5}.

$$-8x-18+2x=58$$

اجمع -8x مع 2x.

$$-6x-18=58$$

أضف 18 إلى طرفي المعادلة.

$$-6x=76$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=-\frac{38}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{38}{3} في y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{8}{5}\left(-\frac{38}{3}\right)-\frac{18}{5}$$

اضرب -\frac{8}{5} في -\frac{38}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{304}{15}-\frac{18}{5}$$

اجمع -\frac{18}{5} مع \frac{304}{15} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{50}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{5\times 2-8\times 5}&\frac{5}{5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{4}{15}\times 58\\\frac{1}{6}\left(-18\right)-\frac{1}{6}\times 58\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\-\frac{38}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

اطرح 5y+2x=58 من 5y+8x=-18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5y-5y+8x-2x=-18-58$$

اجمع 5y مع -5y. حذف الحدين 5y و-5y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8x-2x=-18-58$$

اجمع 8x مع -2x.

$$6x=-18-58$$

اجمع -18 مع -58.

$$6x=-76$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-\frac{38}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{38}{3} في 5y+2x=58. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$5y+2\left(-\frac{38}{3}\right)=58$$

اضرب 2 في -\frac{38}{3}.

$$5y-\frac{76}{3}=58$$

أضف \frac{76}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$5y=\frac{250}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=\frac{50}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$