حل {l}{5x-y=8}{10x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 8 } \\ { 10 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-y=8$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{8+y}{5} في المعادلة الأخرى، 10x+3y=6.

$$10\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+3y=6$$

اضرب 10 في \frac{8+y}{5}.

$$2y+16+3y=6$$

اجمع 2y مع 3y.

$$5y+16=6$$

اطرح 16 من طرفي المعادلة.

$$5y=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{8}{5}$$

اضرب \frac{1}{5} في -2.

$$x=\frac{-2+8}{5}$$

اجمع \frac{8}{5} مع -\frac{2}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{6}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-10\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-10\right)}\\-\frac{10}{5\times 3-\left(-10\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 8+\frac{1}{25}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

لجعل 5x و10x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 10 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$10\times 5x+10\left(-1\right)y=10\times 8,5\times 10x+5\times 3y=5\times 6$$

تبسيط.

$$50x-10y=80,50x+15y=30$$

اطرح 50x+15y=30 من 50x-10y=80 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$50x-50x-10y-15y=80-30$$

اجمع 50x مع -50x. حذف الحدين 50x و-50x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-10y-15y=80-30$$

اجمع -10y مع -15y.

$$-25y=80-30$$

اجمع 80 مع -30.

$$-25y=50$$

قسمة طرفي المعادلة على -25.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في 10x+3y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$10x+3\left(-2\right)=6$$

اضرب 3 في -2.

$$10x-6=6$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$10x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$x=\frac{6}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$