حل {l}{5x-8=y}{3x+2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 = y } \\ { 3 x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y = -\frac{14}{13} = -1\frac{1}{13} \approx -1.076923077$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$5x-8-y=0$$

إضافة 8 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$5x-y=8$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-y=8$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{8+y}{5} في المعادلة الأخرى، 3x+2y=2.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=2$$

اضرب 3 في \frac{8+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{24}{5}+2y=2$$

اجمع \frac{3y}{5} مع 2y.

$$\frac{13}{5}y+\frac{24}{5}=2$$

اطرح \frac{24}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{5}y=-\frac{14}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{14}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{14}{13} في x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{14}{13}\right)+\frac{8}{5}$$

اضرب \frac{1}{5} في -\frac{14}{13} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{14}{65}+\frac{8}{5}$$

اجمع \frac{8}{5} مع -\frac{14}{65} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{18}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$5x-8-y=0$$

إضافة 8 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$5x-y=8$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8+\frac{1}{13}\times 2\\-\frac{3}{13}\times 8+\frac{5}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\-\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$5x-8-y=0$$

إضافة 8 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$5x-y=8$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

لجعل 5x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 2$$

تبسيط.

$$15x-3y=24,15x+10y=10$$

اطرح 15x+10y=10 من 15x-3y=24 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x-3y-10y=24-10$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-10y=24-10$$

اجمع -3y مع -10y.

$$-13y=24-10$$

اجمع 24 مع -10.

$$-13y=14$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$y=-\frac{14}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{14}{13} في 3x+2y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\left(-\frac{14}{13}\right)=2$$

اضرب 2 في -\frac{14}{13}.

$$3x-\frac{28}{13}=2$$

أضف \frac{28}{13} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{54}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{18}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$