حل {l}{5x-7y=4}{-x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = 4 } \\ { - x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-7y=4$$

أضف 7y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=7y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 7y+4.

$$x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7y+4}{5} في المعادلة الأخرى، -x+2y=-3.

$$-\left(\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}\right)+2y=-3$$

اضرب -1 في \frac{7y+4}{5}.

$$-\frac{7}{5}y-\frac{4}{5}+2y=-3$$

اجمع -\frac{7y}{5} مع 2y.

$$\frac{3}{5}y-\frac{4}{5}=-3$$

أضف \frac{4}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{11}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{11}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{11}{3} في x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{7}{5}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{4}{5}$$

اضرب \frac{7}{5} في -\frac{11}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{77}{15}+\frac{4}{5}$$

اجمع \frac{4}{5} مع -\frac{77}{15} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{13}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&-\frac{-7}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 4+\frac{7}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

لجعل 5x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$-5x-\left(-7y\right)=-4,5\left(-1\right)x+5\times 2y=5\left(-3\right)$$

تبسيط.

$$-5x+7y=-4,-5x+10y=-15$$

اطرح -5x+10y=-15 من -5x+7y=-4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-5x+5x+7y-10y=-4+15$$

اجمع -5x مع 5x. حذف الحدين -5x و5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7y-10y=-4+15$$

اجمع 7y مع -10y.

$$-3y=-4+15$$

اجمع -4 مع 15.

$$-3y=11$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=-\frac{11}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{11}{3} في -x+2y=-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+2\left(-\frac{11}{3}\right)=-3$$

اضرب 2 في -\frac{11}{3}.

$$-x-\frac{22}{3}=-3$$

أضف \frac{22}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$-x=\frac{13}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\frac{13}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$