حل {l}{5x-7y=-9}{-2x-y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = - 9 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-7y=-9$$

أضف 7y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=7y-9$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y-9\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 7y-9.

$$x=\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7y-9}{5} في المعادلة الأخرى، -2x-y=-4.

$$-2\left(\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}\right)-y=-4$$

اضرب -2 في \frac{7y-9}{5}.

$$-\frac{14}{5}y+\frac{18}{5}-y=-4$$

اجمع -\frac{14y}{5} مع -y.

$$-\frac{19}{5}y+\frac{18}{5}=-4$$

اطرح \frac{18}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{19}{5}y=-\frac{38}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{19}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{7}{5}\times 2-\frac{9}{5}$$

اضرب \frac{7}{5} في 2.

$$x=\frac{14-9}{5}$$

اجمع -\frac{9}{5} مع \frac{14}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&-\frac{7}{19}\\-\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-9\right)-\frac{7}{19}\left(-4\right)\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)-\frac{5}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

لجعل 5x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$-2\times 5x-2\left(-7\right)y=-2\left(-9\right),5\left(-2\right)x+5\left(-1\right)y=5\left(-4\right)$$

تبسيط.

$$-10x+14y=18,-10x-5y=-20$$

اطرح -10x-5y=-20 من -10x+14y=18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-10x+10x+14y+5y=18+20$$

اجمع -10x مع 10x. حذف الحدين -10x و10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$14y+5y=18+20$$

اجمع 14y مع 5y.

$$19y=18+20$$

اجمع 18 مع 20.

$$19y=38$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في -2x-y=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x-2=-4$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$-2x=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$