حل {l}{5x-6y=10}{2x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 10 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{88}{47} = 1\frac{41}{47} \approx 1.872340426$$

$$y=-\frac{5}{47}\approx -0.106382979$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-6y=10$$

أضف 6y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=6y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 6y+10.

$$x=\frac{6}{5}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{6y}{5}+2 في المعادلة الأخرى، 2x+7y=3.

$$2\left(\frac{6}{5}y+2\right)+7y=3$$

اضرب 2 في \frac{6y}{5}+2.

$$\frac{12}{5}y+4+7y=3$$

اجمع \frac{12y}{5} مع 7y.

$$\frac{47}{5}y+4=3$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$\frac{47}{5}y=-1$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{47}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{5}{47}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5}{47} في x=\frac{6}{5}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{6}{5}\left(-\frac{5}{47}\right)+2$$

اضرب \frac{6}{5} في -\frac{5}{47} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{6}{47}+2$$

اجمع 2 مع -\frac{6}{47}.

$$x=\frac{88}{47}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\\-\frac{2}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 10+\frac{6}{47}\times 3\\-\frac{2}{47}\times 10+\frac{5}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{88}{47}\\-\frac{5}{47}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

لجعل 5x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$2\times 5x+2\left(-6\right)y=2\times 10,5\times 2x+5\times 7y=5\times 3$$

تبسيط.

$$10x-12y=20,10x+35y=15$$

اطرح 10x+35y=15 من 10x-12y=20 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x-12y-35y=20-15$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12y-35y=20-15$$

اجمع -12y مع -35y.

$$-47y=20-15$$

اجمع 20 مع -15.

$$-47y=5$$

قسمة طرفي المعادلة على -47.

$$y=-\frac{5}{47}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5}{47} في 2x+7y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+7\left(-\frac{5}{47}\right)=3$$

اضرب 7 في -\frac{5}{47}.

$$2x-\frac{35}{47}=3$$

أضف \frac{35}{47} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{176}{47}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{88}{47}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$