حل {l}{5x-6y=-25}{4x-3y+20=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 25 } \\ { 4 x - 3 y + 20 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-5$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-6y=-25$$

أضف 6y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=6y-25$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-25\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 6y-25.

$$x=\frac{6}{5}y-5$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{6y}{5}-5 في المعادلة الأخرى، 4x-3y+20=0.

$$4\left(\frac{6}{5}y-5\right)-3y+20=0$$

اضرب 4 في \frac{6y}{5}-5.

$$\frac{24}{5}y-20-3y+20=0$$

اجمع \frac{24y}{5} مع -3y.

$$\frac{9}{5}y-20+20=0$$

اجمع -20 مع 20.

$$\frac{9}{5}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{9}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=\frac{6}{5}y-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{4}{9}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-25\right)+\frac{2}{3}\left(-20\right)\\-\frac{4}{9}\left(-25\right)+\frac{5}{9}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-5,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-6y=-25,4x-3y+20=0$$

لجعل 5x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$4\times 5x+4\left(-6\right)y=4\left(-25\right),5\times 4x+5\left(-3\right)y+5\times 20=0$$

تبسيط.

$$20x-24y=-100,20x-15y+100=0$$

اطرح 20x-15y+100=0 من 20x-24y=-100 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20x-20x-24y+15y-100=-100$$

اجمع 20x مع -20x. حذف الحدين 20x و-20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-24y+15y-100=-100$$

اجمع -24y مع 15y.

$$-9y-100=-100$$

أضف 100 إلى طرفي المعادلة.

$$-9y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في 4x-3y+20=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+20=0$$

اطرح 20 من طرفي المعادلة.

$$4x=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=0$$